SherbyNet - /page/wikibook/entry.mu

<!DOCTYPE html>

<title>Espace réflexif</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Espace réflexif</h1>

</header>

</div>

En <a href="Analyse_fonctionnelle_(math%C3%A9matiques)" title="Analyse fonctionnelle (mathématiques)">analyse fonctionnelle</a>, un <a href="Espace_vectoriel_norm%C3%A9" title="Espace vectoriel normé">espace vectoriel normé</a> est dit réflexif si l'<a href="Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injection</a> naturelle dans son <a href="Dual_topologique#Bidual_(topologique)" title="Dual topologique">bidual topologique</a> est <a href="Surjection" title="Surjection">surjective</a>. Les espaces réflexifs possèdent d'intéressantes propriétés géométriques.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition">Définition</h2></div>

Soit <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> un espace vectoriel normé, sur <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {R} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {R} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {R} }" loading="lazy"></a> ou <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mathbb {C} }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbb {C} }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.678ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mathbb {C} }" loading="lazy"></a>. On note <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/865f8505e90120a535a4ee68ca253dbd8ce7eb6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X'}" loading="lazy"> son <a href="Dual_topologique" title="Dual topologique">dual topologique</a>, c'est-à-dire l'espace (<a href="Espace_de_Banach" title="Espace de Banach">de Banach</a>) des <a href="Forme_lin%C3%A9aire" title="Forme linéaire">formes linéaires</a> continues de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> dans le corps de base. On peut alors former le <a href="Dual_topologique#Bidual_(topologique)" title="Dual topologique">bidual topologique</a> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67b827334f818c61a8b86e5d1ea9a3203c8e074b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X''}" loading="lazy">, qui est le dual topologique de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/865f8505e90120a535a4ee68ca253dbd8ce7eb6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X'}" loading="lazy">. Il existe une <a href="Application_lin%C3%A9aire" title="Application linéaire">application linéaire</a> <a href="Continuit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Continuité (mathématiques)">continue</a> naturelle

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J:X\to X''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a61df149922ad7eda79377db8d38d151fcca64a4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:12.137ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle J:X\to X''}" loading="lazy"></dd></dl>

définie par

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J(x)(\phi )=\phi (x)}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/216e02d1f481b980ba4d93c1a05267b0e6473789.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.428ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle J(x)(\phi )=\phi (x)}" loading="lazy">, pour tout <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> dans <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \phi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \phi }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/72b1f30316670aee6270a28334bdf4f5072cdde4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.385ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \phi }" loading="lazy"> dans <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X'}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X'}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/865f8505e90120a535a4ee68ca253dbd8ce7eb6a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.682ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X'}" loading="lazy"> .</dd></dl>

Ainsi, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> envoie <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"> vers la forme linéaire continue sur <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> donnée par l'évaluation en <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy">. Comme conséquence du <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Hahn-Banach" title="Théorème de Hahn-Banach">théorème de Hahn-Banach</a>, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> préserve la norme (soit encore

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|J(x)\|=\|x\|}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a9147517c1f0563ab8aaa200183fe4b8c84df20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:13.688ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \|J(x)\|=\|x\|}" loading="lazy">) et est donc <a href="Injection_(math%C3%A9matiques)" title="Injection (mathématiques)">injective</a>. L'espace <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> est alors dit réflexif si <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy"> est <a href="Bijection" title="Bijection">bijective</a>.

Remarques.

<ul><li>Cette définition implique que tout espace normé réflexif est de Banach, puisque <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.98ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle X}" loading="lazy"> est isomorphe à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle X''}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle X''}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/67b827334f818c61a8b86e5d1ea9a3203c8e074b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.134ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle X''}" loading="lazy">.</li>

<li>L'<a href="Espace_de_James" title="Espace de James">espace de James</a> est non réflexif, bien qu'isométriquement isomorphe à son bidual topologique (par un autre morphisme que <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle J}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle J}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.471ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle J}" loading="lazy">).</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exemples">Exemples</h2></div>

Tout <a href="Topologie_d'un_espace_vectoriel_de_dimension_finie" title="Topologie d'un espace vectoriel de dimension finie">espace vectoriel normé de dimension finie</a> n est réflexif. En effet son dual (qui coïncide avec le dual topologique puisque toute application linéaire est continue) a pour dimension n, qui est donc aussi la dimension du bidual, si bien que <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_du_rang#Application_à_la_caractérisation_des_isomorphismes" title="Théorème du rang">l'injection linéaire J est alors bijective</a>.

Tout <a href="Espace_de_Hilbert" title="Espace de Hilbert">espace de Hilbert</a> est réflexif, de même que les <a href="Espace_Lp" title="Espace Lp">espaces Lp</a> pour 1 < p < ∞. De manière générale : tout espace de Banach <a href="Espace_uniform%C3%A9ment_convexe" title="Espace uniformément convexe">uniformément convexe</a> est réflexif d'après le théorème de <a href="David_Milman" title="David Milman">Milman</a>-<a href="Billy_James_Pettis" title="Billy James Pettis">Pettis</a>.

Les <a href="Espace_de_suites_%E2%84%93p#Propriétés" title="Espace de suites ℓp">espaces de suites c0, ℓ1 et ℓ∞</a> ne sont pas réflexifs. L'espace <a href="Convergence_uniforme#Distance_uniforme" title="Convergence uniforme">C([0, 1])</a> non plus.

Les <a href="Espace_de_Montel" title="Espace de Montel">espaces de Montel</a> sont réflexifs, pour une <a href="Dual_d'un_espace_vectoriel_topologique#Espaces_réflexifs" title="Dual d'un espace vectoriel topologique">définition de la réflexivité</a> généralisant celle présentée ici seulement dans le cas normé.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés">Propriétés</h2></div>

Si Y est un <a href="Sous-espace_vectoriel" title="Sous-espace vectoriel">sous-espace vectoriel</a> <a href="Ferm%C3%A9_(topologie)" title="Fermé (topologie)">fermé</a> d'un espace réflexif X alors Y et <a href="Espace_vectoriel_norm%C3%A9#Espace_quotient" title="Espace vectoriel normé">X/Y</a> sont réflexifs.

Pour un espace normé X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

<ol><li>X est réflexif ;</li>

<li>X est <a href="Espace_complet" title="Espace complet">complet</a> et son dual est réflexif ;</li>

<li>la <a href="Boule_(topologie)" title="Boule (topologie)">boule unité fermée</a> de X est <a href="Topologie_faible" title="Topologie faible">faiblement</a> <a href="Compacit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Compacité (mathématiques)">compacte</a><a href="#cite_note-1">[1]</a> ;</li>

<li>toute suite bornée de X admet une sous-suite faiblement convergente<a href="#cite_note-2">[2]</a> ;</li>

<li>X est complet et toute forme linéaire continue sur X atteint sa norme en un point de la boule unité de X<a href="#cite_note-3">[3]</a> ;</li>

<li>X est complet et tout <a href="Ensemble_convexe" title="Ensemble convexe">convexe</a> fermé non vide C de X est « proximinal », c'est-à-dire que pour tout x dans X, il existe dans C au moins un c (non unique en général) tel que ║x – c║ soit égal à la <a href="Distance_(math%C3%A9matiques)#Distance_d'un_point_à_une_partie" title="Distance (mathématiques)">distance de x à C</a><a href="#cite_note-4">[4]</a>.</li></ol>

Un espace réflexif peut être muni d'une <a href="Norme_%C3%A9quivalente" title="Norme équivalente">norme équivalente</a> qui en fait un <a href="Espace_strictement_convexe" title="Espace strictement convexe">espace strictement convexe</a><a href="#cite_note-5">[5]</a>, mais il existe des espaces réflexifs <a href="Espace_s%C3%A9parable" title="Espace séparable">séparables</a> qui ne sont pas <a href="Super-r%C3%A9flexivit%C3%A9" class="mw-redirect" title="Super-réflexivité">super-réflexifs</a>, c'est-à-dire qui ne sont <a href="Espace_uniform%C3%A9ment_convexe" title="Espace uniformément convexe">uniformément convexes</a> pour aucune norme équivalente<a href="#cite_note-6">[6]</a>.

Un espace réflexif est séparable si et seulement si son dual est séparable<a href="#cite_note-7">[7]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Notes_et_références">Notes et références</h2></div>

<div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Reflexive_space?oldid=432817821">Reflexive space</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Reflexive_space?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</div>

<li id="cite_note-1"><a href="#cite_ref-1">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Viorel Barbu et Teodor Precupanu, <cite class="italique" lang="en">Convexity and Optimization in Banach Spaces</cite>, <a href="Springer_Verlag" class="mw-redirect" title="Springer Verlag">Springer</a>, <time>2012</time>, <abbr class="abbr" title="quatrième">4e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 368 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-94-007-2246-0, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=aKljTkrZgBIC&pg=PA33">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 33<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Convexity+and+Optimization+in+Banach+Spaces&rft.pub=Springer&rft.edition=4&rft.aulast=Barbu&rft.aufirst=Viorel&rft.au=Precupanu%2C+Teodor&rft.date=2012&rft.pages=33&rft.tpages=368&rft.isbn=978-94-007-2246-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEspace+r%C3%A9flexif">.

</li>

<li id="cite_note-2"><a href="#cite_ref-2">↑</a> En effet, dans un espace normé (non nécessairement complet) muni de la topologie faible, une partie est compacte si et seulement si elle est <a href="Compacit%C3%A9_s%C3%A9quentielle" title="Compacité séquentielle">séquentiellement compacte</a>, d'après le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_d'Eberlein-%C5%A0mulian" title="Théorème d'Eberlein-Šmulian">théorème d'Eberlein-Šmulian</a> : <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Charalambos_D._Aliprantis" title="Charalambos D. Aliprantis">Charalambos D. Aliprantis</a> et Kim C. Border, <cite class="italique" lang="en">Infinite Dimensional Analysis : A Hitchhiker's Guide</cite>, Springer, <time>2007</time>, <abbr class="abbr" title="troisième">3e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 703 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-3-540-32696-0, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC&pg=PA241">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 241<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Infinite+Dimensional+Analysis&rft.pub=Springer&rft.edition=3&rft.stitle=A+Hitchhiker%27s+Guide&rft.aulast=Aliprantis&rft.aufirst=Charalambos+D.&rft.au=Kim+C.+Border&rft.date=2007&rft.pages=241&rft.tpages=703&rft.isbn=978-3-540-32696-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEspace+r%C3%A9flexif">.

</li>

<li id="cite_note-3"><a href="#cite_ref-3">↑</a> Voir « <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_James" title="Théorème de James">Théorème de James</a> ».

</li>

<li id="cite_note-4"><a href="#cite_ref-4">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jean-Pierre Crouzeix, Juan-Enrique Martinez-Legaz et Michel Volle, <cite class="italique" lang="en">Generalized Convexity, Generalized Monotonicity : Recent Results</cite>, Springer, <time>1998</time>, 471 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-7923-5088-0, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=l3jOxbSsF3EC&pg=PA210">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 210<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Generalized+Convexity%2C+Generalized+Monotonicity&rft.pub=Springer&rft.stitle=Recent+Results&rft.aulast=Crouzeix&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.au=Martinez-Legaz%2C+Juan-Enrique&rft.au=Michel+Volle&rft.date=1998&rft.pages=210&rft.tpages=471&rft.isbn=978-0-7923-5088-0&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEspace+r%C3%A9flexif">.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Joram_Lindenstrauss" title="Joram Lindenstrauss">Joram Lindenstrauss</a>, « <cite style="font-style:normal" lang="en">On nonseparable reflexive Banach spaces</cite> », <a href="Bulletin_of_the_American_Mathematical_Society" title="Bulletin of the American Mathematical Society">Bull. Amer. Math. Soc.</a>, <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 72, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 6,‎ <time>1966</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 967-970 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183528494">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=On+nonseparable+reflexive+Banach+spaces&rft.jtitle=Bull.+Amer.+Math.+Soc.&rft.issue=6&rft.aulast=Lindenstrauss&rft.aufirst=Joram&rft.date=1966&rft.volume=72&rft.pages=967-970&rft_id=http%3A%2F%2Fprojecteuclid.org%2Feuclid.bams%2F1183528494&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEspace+r%C3%A9flexif">.

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Mahlon M. Day, « <cite style="font-style:normal" lang="en">Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces</cite> », Bull. Amer. Math. Soc., <abbr class="abbr" title="volume">vol.</abbr> 47, <abbr class="abbr" title="numéro">no</abbr> 4,‎ <time>1941</time>, <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 313-317 (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183503576">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Ajournal&rft.genre=article&rft.atitle=Reflexive+Banach+spaces+not+isomorphic+to+uniformly+convex+spaces&rft.jtitle=Bull.+Amer.+Math.+Soc.&rft.issue=4&rft.aulast=Day&rft.aufirst=Mahlon+M.&rft.date=1941&rft.volume=47&rft.pages=313-317&rft_id=http%3A%2F%2Fprojecteuclid.org%2Feuclid.bams%2F1183503576&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AEspace+r%C3%A9flexif">.

</li>

<li id="cite_note-7"><a href="#cite_ref-7">↑</a> Ceci résulte du fait qu'un espace vectoriel normé est séparable dès que son dual l'est.

</li>

</ol></div>

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail des mathématiques </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2024-07-13" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Espace_r%C3%A9flexif&oldid=216762168">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>